2分钟科普“微乐跑得快小程序免费黑科技”(其实真的确实有挂)

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【央视新闻客户端】

[关键词]数学 寒假作业 学生学校传授给学生知识的过程是由课堂和课外两种主要形式表现的,而课外又以作业为主
。课外作业是巩固课堂教学效果的一种主要的辅助手段,安排适量的课外作业是必要的。然而,由于认识上的偏差,当前很多高强度 、高重复
、人工感很强的作业不仅阻碍了学生的发展,甚至给学生的心理健康带来一定的负面影响、成为伤害学生身心的“帮凶 ” 。

2008年的寒假作业,我一改以往用上面下发的《寒假天地》 、《寒假乐园》的低效作业,在班级里布置了10类数学作业,让学生从种任意选做4种:

第一类:阅读一本数学科普读物(培养学生的阅读能力,提高阅读兴趣以及学习数学的兴趣)。

第二类:发现并找出这本科普读物中的至少一处印刷或非印刷性错误(提高学生的批判性思维)
。

第三类:自编(或搜集)2个字谜或谜语,这个字谜或谜语里必须蕴涵着数学知识(学科知识的整合)。

第四类:发现生活中的一个数学问题并试着解决它(培养学生发现问题、解决问题的能力,帮助学生认识学习数学的个人意义) 。

第五类:写一篇数学小论文:数学应用中的小发现
、小窍门等(发展思维能力)
。

第六类:搜集3句数学家的格言(激发学生对数学家和数学的热爱)。

第七类:编写一则数学小幽默(提升学生的数学素养) 。

第八类:应用本学期所学知识,自编3个小综合题(帮助学生进一步理解、掌握知识间的联系,增加综合运用知识的能力)
。

第九类:利用计算机,编制一个统计表或统计图:邻居小伙伴的压岁钱或家庭成员的爱好统计(内容也可自选)(统计图和统计表也是本学期的一个重点单元,让学生利用计算机完成,既是对知识的巩固,也是培养学生应用信息技术的能力)。

第十类:利用本学期所学的平面图形知识(多边形面积),制作一个实物模型(培养学生的动手能力 、创造能力以及综合运用知识的能力) 。

2月1日开学,每人作业都完成得相当出色
。这样的家庭作业,既有数学知识的巩固,又有各种能力的挑战;既有静的书面习作,又有动的手工制作;既有批判性数学阅读,又有数学家格言警句的搜集等。多样化
、多元化、多维化的家庭作业练习,学生不仅是完成任务,更是一次自我的超越,是一次新的探索,是一次心灵的启迪 。学生从中汲取的何止是数学知识,那是数学能力的发展,数学素质的提高,数学素养的提升
。通过作业,学生感受到的是学习的乐趣,是探索的快乐,学生从中汲取的是生命的活水,这水源源不断地流进学生的心田,永不枯竭,永不衰败,永远旺盛地生长。

因此,我们教师在对学生布置数学作业时,一定要讲究方式 、方法,改变只重知识
、只重书面练习的现象 。记得有这样一个比喻,教师如同厨师,掌勺教书育人的大餐,这菜难做,因为它不但要色香味俱全,更要让人吃后能获得营养,而作业这道菜,“烧
”得好,便让人胃口大开。所以,我们数学教师要让数学家庭作业这道菜的“色香味俱全”,既要有营养,而且吃了还想吃,胃口大开
。使数学作业真正成为学生施展才华的舞台,成为锻炼学生能力的天地,成为学生创造性的展示平台。

四年级数学科普小知识数学报

吉他构造：琴头、琴弦钮 、琴枕
、指板、品 、琴码
、琴箱 。由细到粗为1~6弦
。

双向电梯

1 工具和材料

2 设计

2.1 从“头 ”开始

2.2 琴头以外的部分

3 施工

3.1 琴头琴码齐加工

3.2 琴弦钮

3.3 品丝和品丝槽

3.4 琴枕和琴码

3.5 琴弦

3.6 琴箱

3.7 调试

4 验收试用

5 科普时间

5.1 简单的乐趣

5.2 用吉他品数音阶

5.3 琴弦的猴子实验

5.4 泛音的原理

1 工具和材料

● 台钻、合适的钻头（至少是能钻孔的手工钻 ，就是对膂力过人的你来说
，钻木取火一整天也太辛苦了）

● 角磨机（主要处理木料，没有这类电动工具的大力朋友可以选用凿子 、木工刨、木锯
、木锉、砂纸等老派木工工具）

● 砂轮机（主要用来磨铁钉 ，同样可以用金属锉替代）

● 铅笔

● 直角尺

● 米尺

○ 木料 1条（最好是橡木等比较致密的木材。在各大城市的建材市场
，或者大型建材超市比如百安居就能方便买到，不过一般一买至少两米 。）文中用的木条尺寸是100cm*5cm*3cm（但如果厚度比3cm再稍微薄一点 ，琴颈手感会更好
。另外
，如果木条呈一个一头为5cm另一头8cm的等腰梯形，则弹奏时的手感更完美 、更接近商品琴）

○ 铁钉 15个（如果你能找到 ，越细越好。同样
，五金店，建材超市 ，你长辈的工具箱里均有销售或赠送） ——尺寸Φ3mm*5cm

○ 琴弦钮6个（各个卖吉他的琴行里都有，要DIY范儿
，不怕走音的同学可以去“标准件五金店”准备吊M6环螺栓和螺母6对儿
、相应垫片12片！）

○ 琴弦钮配套木螺丝12个（问卖给你琴弦钮的店家索要，他说没有就撒泼打滚 ，真的没有可以去五金店或者建材超市淘合适的
，量清楚琴旋钮的孔了以后，很好找！）

○ 木螺丝6个（尼龙弦才需要）

○ 琴弦一副（与琴弦钮一起买 ，店家如果问起这是要干嘛啊？你就说：我们“所儿
”里最近要验证一下弦理论 。店家摇头笑道：是“超弦理论”还是“玻色弦理论 ”啊？恭喜你
，你就遇到高人了……言归正传，琴弦最好是张力低点的钢弦 ，或者尼龙弦
。不过对调整音阶有足够自信的话
，其实最DIY的就是用粗鱼线啦。）

○ 一个提供共鸣效果的硬纸盒（我保证，经常路过你家单元门口 ，不断吆喝的那个板车上就有的找！）

○ 胶带、双面胶

2 设计

2.1 从“头
”开始

● 现在让我们来想像一下
，面前堆着一大堆工具的你，左手铅笔右手米尺 ，瞪着无辜的大眼睛迷惘的看着一大条木料 。要怎么下手呢？

● DIYer做出一个“手把手”的手势说：“先来规划好吉他的各个结构，从琴头开始吧！ ”

● 琴头的主要功能是牢固固定琴弦的一端
，并且采用机械结构来调整琴弦的张力，还要保持张力的稳定 ，至少稳定《请给我一首歌的时间》的时间
，什么？你说周杰伦没说“请
”？介个没礼貌的家伙……

● 为了向工业化零件的便宜好用致敬，在这把琴上 ，我们直接使用专用的“琴弦钮”来固定琴弦
。

● 使用琴弦钮的好处很明显
，它其实就是一个具有反向自锁性的涡轮蜗杆结构，保持稳定张力就是它独特的本领。

● 坏处嘛……如果硬要找出一条 ，就是它缺乏DIY作品那粗糙的视觉冲击力（工程师们摇头叹息） 。冲击力的问题可以对比下图的1.0和2.0：

● 如果你有一双慧眼
，在脑子被DIY吉他的彪悍填满之前，会注意到二代琴的琴头是下沉的。这是考虑到琴弦通过琴枕槽后 ，如果是固定在和指板一样高的弦柱上的话
，可能会浮在琴枕的槽里，影响琴弦振动
。而下沉的弦柱则可以保证琴弦绷紧。

● 如果你的目光简直是犀利如炬 ，你还会在一代琴的照片里贴近琴枕的地方发现一排小孔，这是我曾经试图把琴弦穿过这些孔固定在琴头的另一面
，但是这样弯折的琴弦在被拉紧的过程中会特别容易断！所以下沉琴头目前是最有效的方案 。

● 好的，若有所思的点头可以停一下了！让我们回到琴弦钮或者螺栓的问题上 ，弦钮的排列也是在规划阶段需要考虑到的
。

● 其排列不仅要给琴弦和别的琴弦钮留下空间 、比对好每根琴弦的长度（一般6弦最短了）
，还最好是以中轴线对称的，这样琴枕就可以被拉向两边的弦拉紧 ，相对稳定的固定在它应该在的位置上（或者做成完全没有横向拉力的排布！）。

● 惭愧的是我做的两代琴都忽略了这个问题
，后来改变了卷弦方向才让琴枕两边拉力平衡，聪明又勤劳的你可要吸取教训啊……

● 严肃认真的总结一下 ，琴头的规划应该是这样的：把木条的一端除去上面一半木料
，为各个琴弦钮留下足够的空间，计算好琴弦的长度 ，最后考虑到琴弦横向对琴枕的拉力来排布琴弦钮的位置 。

2.2 琴头以外的部分

● 我们的土吉他除了琴头
，只剩下琴箱和指板两个弱弱的部分
。

● 琴箱在不考虑声学方面的因素（良好的共鸣效果
、丰厚的音色等不坑爹的美好属性？考虑这些我们就不是DIYer！）后找个合适的盒子装上就可以。

● 指板也很简单：首先确定有效弦长，再考虑一些小问题就可以 。普通吉他的有效弦长一般都在640mm左右 ，所以你能买到的大多数琴弦，能支持的弦长都不会超过该数值太多
。过长过短的有效弦长也会导致品格之间距离适合各种各样手指或长或短的ET来弹奏
，这在下面的算法中有直观的表现。所以各位地球人的童鞋们在这个数值附近定一个长度就可以啦 。

● 半推半就不知不觉确定了有效弦长之后，鉴于我们DIY吉他的简洁精悍 ，指板和琴码是在一根木头上吃饭的
，所以在选定的弦长两端为琴枕琴码各留下一厘米能就确定整个指板到琴码的长度，最后用品位间距算法得到品间距 ，指板部分的设计就完成了
。

● 品间距算法如下：

● 就算小数省略到3位
，纸笔算的话还是挺麻烦哒。Geek派头十足的你如果想做个计算程序，用Office EXCEL就可以做到 。

● 如果你实~~~在是懒 ，不想算
，也不想编程序。那好吧，其实随便在网上找一个吉他品间距计算工具就行 ，通常是你在一个简陋的小格子里输入L
，按下回车就飚出24个品的间距来……简直是做几把吉他都用不完啊

● 有关于吉他的品间距、琴弦 、泛音问题其实非常好玩，在文章的最后我会告诉大家一些关于音阶的有趣科学 ，用吉他就可以做的小实验
。是的，当然包括我们的这把！

● 琴弦的间距也需要考虑
，一般遵循琴枕处间距小，琴码处间距大来分配琴弦间距。这把琴的琴枕处是5
、8、8 、8
、8、8 、5（mm）的间距 ，琴码处间距是2.5、9
、9、9 、9
、9、2.5（mm）
，如果你的木条比较宽，其实琴码处再隔的宽点也是可以的 。

● 琴码后面3cm左右是固定琴弦的地方 ，可以打几个贯穿木条又比“琴弦固定头 ”小的洞
，让琴弦有地方固定
。如果你准备用尼龙弦，在这些洞后面打进6个可以把琴弦系在上面的木螺丝就行了。

● 至此设计工作基本完成 ，下面就是给力的工艺展示啦！

● 在进行除料前
，要给我们的木条按前文的规划用铅笔画好线 。最好在动手前明确切割和打孔有哪些部分，还要留好足够的切削余量 ，锯歪了后还有的挽回
。本DIYer经常感慨
，在没有CTRL+Z的世界里，Geek们看起来总是少了几分自由和飘逸……

3 施工

3.1 琴头琴码齐加工

● 这是琴头上面的部分加工后的样子 ，你可以看到在指板上有标好的品格位置。这里的除料可以先用角磨机上木锯片，留些余量把大部分要除的木料打掉 。然后换弹性磨片——就是羞涩的躲在指板下面的半遮面的那片——进行打磨抛光
。

● 这里必须要提醒你：使用电动工具的时候要养成戴护目镜的好习惯
，还有其他比如耳塞 、防尘面具这样的护具，它们会保护你免受分崩砂轮片
、粉尘、噪音的伤害 ，同时正确正规的培训和严谨小心的态度也非常关键。图中的表面对光洁度没什么技术上的要求（喂
，谁接嘴说：“这个吉他根本就都没有
”的？），主要是为了迅速方便的除料才用角磨机磨的 。

● 如果是手工工具的话 ，就是先用木锯沿两侧的切割线锯一道
，再沿指板垂直方向锯一道，把两道锯线汇合起来除料 ，最后用砂纸或者木工矬细加工
。

● 对于这把吉他来说
，实践表明电动工具打磨确实能达到加工要求，那摸起来光洁的平面 、深浅不一的华丽木纹
、木材受热挥发出的香气 ，共同编织着“自我欣赏”的蘑菇云
，这是对一个DIYer最大的心灵奖赏。

● 图中最明显的当然是悲催的非对称排布弦柱蓝图，但是我想说的是：首先 ，你可以看到处理基本良好的除料边缘；其次，弦柱排布的位置一定要画在这一面噢 。

● 以前有位老师谈到日本的一位顶级磨削加工师傅
，用精良的高端工具磨出世界级的精密表面后，表示最重要的还是对工件有平静如水的感情 ，有了这深沉的爱
，镜面什么的都是浮云。经过实践后，我认为我对吉他的爱还是相当热烈的 ，因为被加工的表面有着异常壮丽的波澜起伏……

● 除料之后是打孔
。图中右边的线是标记好的琴码位置。左边3cm是准备用来打穿过琴弦的孔的标记
，注意这里的孔直接对应着琴尾琴弦的间隔，不管你怎么设计 ，孔在指板这面的精度要尽量的高 。孔可以考虑打成斜的
，由琴底向琴码倾斜，这样没有直角切住琴弦 ，琴弦会更耐用（尤其是尼龙弦）
。

● 完成了的固定孔背面
，如果是尼龙弦可以在这些孔的左边再打6个对应的引导孔（要小于木螺丝的螺纹内径噢~），拧上木螺丝 ，用来固定弦。

● 按照先前标示的位置从背面给弦柱打孔 。想象一下这些斜线的用途：如果按这些传过标记点的斜线方向来安排琴旋钮方向的话，琴弦钮会看起来排列整齐美观
。当然你也可以把你的琴旋钮朝向排的歪七扭八来讨好毕加索的美感。在实现功能的前提下——或者哪怕功能失常——这是一个DIYer应该去享受的自由！

● 指板的这面
，6个不知所措的空虚小洞排排坐，在期待弦柱的……

3.2 琴弦钮

● 在给琴旋钮的螺丝打引导孔时可以先用真的琴弦钮来踩一下点 。中的这个琴弦钮代表着他的五胞胎兄弟正在斜线上试图把握他们人生的位置 ，让我们用热烈的眼神真诚的祝福这位勇敢的~呃~琴弦钮
。

● 旋钮们正在交头接耳的感慨
，6胞胎真的都长的一样啊、工业化生产真是好啊！12胞胎的螺丝们表示你们还真是少见多怪。马上要被螺丝堵住嘴的引导孔顾不上说话，在大口的吸气 。

3.3 品丝和品丝槽

● 挥舞着电动工具的神气的我 ，是这么打品丝槽的
。图中旋转到看不清脸——如果它有脸——的砂轮片原本是用来磨金属的
，但是借用一下它粗细正好的边缘来按规划线打槽也应该没有什么大问题。注意拉动方向要和砂轮下沿旋转方向一致，如果拉反了砂轮会把自己当轮子跑出去 ，想不明白的话拿两只手比划一下 。再次提醒注意安全
，一定要戴护目镜啊！

● 没有电动工具的童鞋也不用沮丧，可以用锯条慢慢把握其中的奥秘 ，上一把琴我也把握了许久
，手动工具是一个DIYer必要的修行！

● 打磨铁钉很有趣，经常让我想起某个平安夜的烟火棒 ，（略）。事实上，这一步很危险
，要注意：护目镜是一定要戴的 、磨铁钉要顺着砂轮的旋转方向磨
、把铁钉用大力杵在砂轮上的动作有一个专用术语叫“愚蠢 ”、铁钉在磨的时候会很烫，最好用老虎钳夹紧
。

● 在砂轮上（画外音：我们对环境的凌乱表示抱歉！）最终我们把12根铁钉从尖头打磨 ，磨成和指板的宽度一样长
，并且把原本尖锐的地方磨到不扎手。另外有台钻的同学还要磨一根下文提到的“铣刀头
” 。

● 手工童鞋们你们醒醒，拿出你们的钢锉 ，叫上你们的兄弟姐们
，准备好作为工资的牛肉干 、巧克力，大家开工吧！

● 看到图中这个啃噬木槽的小铁棍了么 ，这其实是一个自制铣头
。用一根钉子把两端磨平
，一端磨出一点斜面做刀头，另一端随便怎么样做固定端 ，一个可以加深加宽先前沟槽的铣头就做好了。

● 这样用钉子做铣头的好处是：铣出来的槽和钉子一样宽
，于是钉子做的品丝可以过盈配合（因为你铣出来的槽肯定和钉子不一样直！）的镶进去 。而且用台钻固定高度后，如果木材两面平行度比较高的话 ，铣出的12个槽是一样深的！12个品基本一样高的话就省了后期的许多许多微调~~对，我们DIY讲究的就是那点精益求精……

● 一点点加深铣的深度
，探索最合适的值
。最终我们的目标是：在指板上面用力压一块木头，从木头和图中铣槽的缝隙中 ，打进作为品丝的钉子
，并且钉子露出木头的高度刚好不超过其直径的一半。找到打进第一个钉子的诀窍后请把他简单重复12次 。

● 看到图中的一缕浮云突然想起悲催的手工党，这里手工党是没法精确控制槽深的 ，但是做法也更简单方便有效
。用锯条锯出一个小槽
，然后用胶把钉子粘上去吧。因为锯口一样宽，所以锯口上搭的钉子也是一样高的！虽然钉子高出指板不少 ，但是并不影响按弦的质量
，因为弦是按在品丝稍微往上一点的位置，搭在品丝上的 。当然 ，多少会感觉有点“弹”、有点“Q ”
，嗯，抱拳恭喜你 ，你做的吉他口感很好！

● 是时候做个中期检查了，你的吉他琴体和这个像么？其实我衷心希望你的吉他会更漂亮一点
。

3.4 琴枕和琴码

● 接下来要做的是琴枕和琴码。做琴枕的时候有两个要注意的地方：首先和指板接触的表面要非常的光滑
，至少是有点压力就能和指板完全贴合，这样有利于琴弦振动的传递；其次挖的沟槽要宽 ，并且向琴码方向的槽底要做的高一点
，让琴弦在有效弦长开始的地方尽量有一个明显的接触点 。琴枕沟槽的高点只需要比指板上的第一品铁钉最高处高出1mm，这是需要多做调整的细活 ，可以先留一些余量待调。

● 而琴码那里的弦间距因为已经被琴尾的固定孔确定
，所以随便找一条平底的木头把头上削成斜面就可以，不用做沟槽
。高点比琴枕槽最高处高约1cm ，仍然是在有效弦长的方向。吉他2.0上直接用的是买来的标准琴码 。

● 琴码琴枕高度的最终标准是让琴弦在1品比品丝高1mm在12品高4至5mm
。

● 在正式上琴弦之前
，我想你会希望指板握起来的手感和木材略有不同，那么像这样把指板背面的直角木楞打圆就可以了。这是DIY吉他跨过“乐器”分水岭的重要一步 ，客户体验
，你懂的 。

3.5 琴弦

● 上琴弦很简单，把琴弦穿过琴尾的固定孔 ，迈过琴码琴枕，插进琴弦钮弦柱上的洞里
，调好合适的长度（大概拉起来比琴枕高一厘米），找对方向就开始卷吧
。要注意琴码琴枕都是直接放在指板上 ，用弦张紧的力来固定的
，记住我们做高端的乐器的，这种细节从来不用“X胶或者胶X
”什么的。琴弦有一定张力的时候 ，随着你卷弦的动作会发出嗡的一声
，我得提醒你这是一个历史性的时刻，你DIY吉他的第一声啼哭……

● 如果你在上紧琴弦的时候琴码因为太薄而倒了并发出震耳欲聋的 “Bang！” 。就想想《银河系漫游指南》的封底——拿出你的毛巾擦擦汗——“Don’t Panic ” ，松一点琴弦再把它立起来就好了
，这次可以留一点向琴尾倾斜的余量
。至于自己削的琴码因为太厚了，一般都没这个问题。

3.6 琴箱

● 上完琴弦有一瞬间你觉得吉他的声音气若游丝？的确 ，不过是因为还没有装琴箱的缘故 。我们随便找个大小合适的盒子贴在吉他指板的背面就会感受到共鸣的强烈效果！找到盒子了就想办法固定住吧
。我用胶带把盒子四周缠紧
，然后直接双面胶把指板贴在盒子上了。你可以试试在盒子上打一个音孔，大小合适的话声音会响亮的 。

3.7 调试

● 花一点时间把琴弦都调出音（听不出音调？我表示理解 ，咱Geek都用麦克风和调音软件AP guitar tuner什么的）来，比标准E低一点——标准音张力实在太大了——也没问题的。主要试一试有没有打品的现象
。

● 所谓打品就是比如说你按着2品拨动琴弦的时候
，琴弦振动时打在3品上甚至4品上而被制音发出“吧嗒
”这样不愉快的声音来，这时就需要掏出小矬子把3品或者4品相应的位置挫低一点。

● 一般出现这种现象是因为钉子高度不一致 ，不是重大失误的话一般都在挫一会就能解决的范围内 。我得骄傲的说
，市场上的吉他有很多因为制造不用心和维护不仔细各种打品，咱的吉他既然不打品 ，我们就能嘲笑粗制滥造的工业化多么的无能了（刚开始好像你不是这个调调嘛）
。

● 因为轻微打品被锉平的钉子

● 这是两根严重打品的钉子
，气急败坏的我把右边的那根拿下来直接上砂轮了。这样……是不对的，因为过度打磨会导致后面的品丝出现不必要的打品 ，继而带来本不必要的铁棒磨成针的工作
，一不小心就给自己增加了工作量！

4 验收试用

● 处理完打品的问题后，把音调重新调整一下 ，吉他的制作就完成了 。

● “手把手”的DIY过程到此告一段落
。我们这时看到米兰小铁匠的脸上露出了欣喜的笑容
，他因为激动而微微泛着血丝的眼睛里有一些晶莹的小东西向人们尽情诉说着梦想成真的感动。好吧，事实就是他仔细看完并吃透了DIY吉他的每一个制作步骤之后 ，终于决定去琴行选购了一把不那么方的吉他！

● 接下来几分钟休息时间里，你可以尽情发挥自己过人一筹的或者多筹的音乐天赋用原创乐器做自己的音乐了
，手上无琴心中有琴的同学可以按下PLAY键收听一下本人对音乐无情的惨无人道的热爱 。

5 科普时间

5.1 简单的乐趣

● 小编认为按步骤做出自己的吉他固然有乐趣，如果再了解一些其中的原理和有趣的玩法 ，乐趣就像是DIY吉他被安上了琴箱（好事者接嘴：“变得更丑了 ”）
，和科学产生共鸣，变得更丰富啦！

● 公元前30世纪 ，古希腊人定性的发现琴弦振动能产生不同音调制作了里拉琴
，1714年英国数学家泰勒（对，就是他！高树上泰勒公式的那个泰勒！）发现琴弦基本振动公式 ，琴弦走过的路基本表征着人类对自然的认知水平
。不过太深奥的认知水平往往只是被专家们津津乐道
，对在这些领域做猴子的我们来说太费解了，今天我作为猴子 ，想以18世纪的认知水平来解读一些琴弦和音乐给我们带来的乐趣。

5.2 用吉他品数音阶

● 在人类的主流文化中（后面会说到非主流的……）
，音乐的音阶是以宇宙间的神秘数字7（好吧，所有数字都是神秘的 ，我只是偏爱7）为循环的 。绝对音之间的比值以 为单位比值，按 α
、α 2 、α 4 、α 6 
、α 7 、α 9  、α 11 
、α 12 的比值排列
。如果你和我一样对开方乘方计算没有爱
，那你就来对地方了，因为吉他的品正是按这样的比值来制作的。我们简单的数品数就能把恶心的计算避开 。当你按住某个品的时候 ，剩下的能振动的弦长正好是上一个品的

● 现在看着吉他的品格
，来跟我来数数儿，从绝对音A3到A4就是2、2 、2
、1、2 、2
、1个品。数够了12个品 ，按下去一弹
，音就高了八度
。单纯高八度的音，从理论上来说就是频率翻倍了。但是实际上每根琴弦振动时都叠加了更多高十二度、十六度 、二十度、二十四度音的分量 ，这也是为什么拨动琴弦产生的音比敲击音叉产生的音从音色上来说丰厚的多 。

● 这里要提一下这个“2221221
”的学名
，叫做十二平均律，与其说是科学 ，不如说是一项美学规定
。人们刚开始由于不明原因定下了这个不和谐的规定——不少人认为这样规定的频率在数学上没有美感
，因为其实它并不严丝合缝的“平均”——后，硬是用时间把他唱成和谐的。证据就是在许多相对隔离的民族文化中 ，也有不这么唱歌的（在我们听起来就是“嗯，虽然不着调吧
，不过挺带感的 。 ”）
。比如我国广东潮州民间音乐就采用七平均律，而外国也有许多自制的平均律比如奥地利人Elsaz的十九平均律（1590年） ，荷兰数学家
、物理学家Huygems的三十一平均律（1661年）
，比利时数学家、地理学家Mercator的五十三平均律（16世纪末）。[1]

5.3 琴弦的猴子实验

● 我知道以下公式可能你看都不想看，不过没关系 ，下面有更入眼的描述 。

● 以上公式更加友好的表述就是：

1.振动的琴弦长度每缩短一半
，音调的频率就提高一倍
。

2.琴弦张力增大的时候，音调变高

3.琴弦越粗 ，音调越低

● 这是“验证该公式的实验
”的猴子步骤：好奇的目测了一下12品的位置
，确实在有效弦长的正中间；量了一下12品的位置，真的在有效弦长的正中间啊；按住12品拨弄了一下 ，听起来确实高八度啊！

● 后两个表述的验证
，本猴子表示直观上都能想象，但是严谨的古希腊人用单弦琴做了大量的实验 ，固定琴弦材料和弦长，改变琴弦末端配重来研究第二条表述
，用固定配重 、弦长改变琴弦材料的方法来验证第三条表述。总之他们捣鼓了许多年后，虽然没有得出一个公式 ，但是还是把这项重大成果写意的运用在了单弦琴上
，拨弄着看似简单的猴皮筋为自己带来了无穷的乐趣，这就是艺术与人最单纯的关系 。

5.4 泛音的原理

● 弹奏时 ，我们的每一次拨弦都在琴弦上形成稳定持久的驻波（这也是为什么乐器能稳定发声）
，驻波的构成通常是基频振动（基波的半波长就是弦长,整条弦就是一个波腹，两端是波节）和它的谐波（空弦音频率的各种n倍）
。驻波的波腹和波节在琴弦上位置是固定的 ，其中不振动的地方叫做波节。

● 当把手指虚按在振动的琴弦上时
，琴弦的振动会受到限制，只有驻波波节在此处的振动才被保留下来 。如果接触点在琴弦的特定位置 ，就能保留下来节点在此处的谐波振动。泛音就这样产生了
，比如接触点在琴弦1/2的位置，保留下了2（第一泛音）倍频率的驻波 ，放在琴弦1/3
、2/3的位置，保留下来了3（第二泛音）倍频率的驻波
。

● 这些高频音叠加起来的效果和空弦音完全不一样
，显得空灵而丰富（因为失去基频振动而空灵，拥有多个高频振动而丰富）。一个乐器的泛音质量 ，往往代表着这个乐器保留谐波的能力
，与乐器的音色是否悦耳灵动有密切的联系！

是包含所有音节，就能说人话了 。
。。

1. 三年级数学报小知识(小学生三年级数学手抄报内容)

三年级数学报小知识(小学生三年级数学手抄报内容) 1.小学生三年级数学手抄报内容

数学家高斯的故事 高斯（Gauss 1777~1855）生于Brunswick ，位于现在德国中北部 。

他的祖父是农民
，父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿 ，有一个很聪明的弟弟
，高斯这位舅舅，对小高斯很照顾 ，偶而会给他一些指导
，而父亲可以说是一名「大老粗」，认为只有力气能挣钱 ，学问这种劳什子对穷人是没有用的
。 高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐册上的错误。

七岁时进了小学
，在破旧的教室里上课，老师对学生并不好 ，常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇 。高斯十岁时
，老师考了那道著名的「从一加到一百」，终于发现了高斯的才华 ，他知道自己的能力不足以教高斯
，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读
。

同时，高斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟 ，而Bartels的能力也比老师高得多
，后来成为大学教授，他教了高斯更多更深的数学。 老师和助教去拜访高斯的父亲 ，要他让高斯接受更高的教育
，但高斯的父亲认为儿子应该像他一样，作个泥水匠 ，而且也没有钱让高斯继续读书，最后的结论是--去找有钱有势的人当高斯的赞助人
，虽然他们不知道要到哪里找 。

经过这次的访问，高斯免除了每天晚上织布的工作 ，每天和Bartels讨论数学
，但不久之后，Bartels也没有什么东西可以教高斯了
。 1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。

数学老师看了高斯的作业后就要他不必再上数学课 ，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上 。 1791年高斯终于找到了资助人--布伦斯维克公爵费迪南（Braunschweig）
，答应尽一切可能帮助他，高斯的父亲再也没有反对的理由。

隔年 ，高斯进入Braunschweig学院
。这年
，高斯十五岁。

在那里，高斯开始对高等数学作研究 。并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的「二次互逆定理」（Law of Quadratic Reciprocity） 、质数分布定理（prime numer theorem）
、及算术几何平均（arithmetic-geometric mean）
。

1795年高斯进入哥廷根（G?ttingen）大学 ，因为他在语言和数学上都极有天分
，为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果 。

最为人所知 ，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法
。

2.三年级数学小报资料

20世纪最杰出的数学家之一的冯·诺依曼.众所周知
，1946年发明的电子计算机，大大促进了科学技术的进步 ，大大促进了社会生活的进步.鉴于冯·诺依曼在发明电子计算机中所起到关键性作用
，他被西方人誉为"计算机之父".1911年一1921年，冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间 ，就崭露头角而深受老师的器重.在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文
，此时冯·诺依曼还不到18岁.

伽罗华生于离巴黎不远的一个小城镇，父亲是学校校长 ，还当过多年市长。家庭的影响使伽罗华一向勇往直前
，无所畏惧 。1823年，12岁的伽罗华离开双亲到巴黎求学 ，他不满足呆板的课堂灌输
，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助
。老师们对他的评价是“只宜在数学的尖端领域里工作”。

阿基米德公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古 。父亲是位数学家兼天文学家
。阿基米德从小有良好的家庭教养 ，11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称"智慧之都"的名城里，阿基米德博阅群书
，汲取了许多的知识，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生 ，钻研《几何原本》 。

祖冲之在数学上的杰出成就
，是关于圆周率的计算.秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率 ，这就是"古率".后来发现古率误差太大
，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少 ，意见不一.直到三国时期
，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长.刘徽计算到圆内接96边形 ， 求得π=3.14
，并指出，内接正多边形的边数越多 ，所求得的π值越精确.祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研
，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间.并得出了π分数形式的近似值 ，取为约率 
，取为密率，其中取六位小数是3.141929 ，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数.祖冲之究竟用什么方法得出这一结果
，现在无从考查.若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16,384边形 ，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的.祖冲之计算得出的密率
， 外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了.为了纪念祖冲之的杰出贡献 ，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率".

塞乐斯生于公元前624年
，是古希腊第一位闻名世界的大数学家。他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后 ，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行
。他勤奋好学，同时又不迷信古人
，勇于探索，勇于创造 ，积极思考问题。他的家乡离埃及不太远
，所以他常去埃及旅行 。在那里，塞乐斯认识了古埃及人在几千年间积累的丰富数学知识
。他游历埃及时 ，曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度
，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已。

高斯非常聪明，老师在课堂上出了一道算术题 ，要学生们计算出前100个自然数相加之和
，一般的同学采取逐个相加的办法计算得头昏脑胀，而高斯几乎不加思索就算出了答案 。他是注意到这个算术级数的规律 ，100+1=101,99+2=101……共50对数
，答案是5050

就这些了

3.三年级数学手抄报,多给点内容

数学小知识

*** 数字

在生活中，我们经常会用到0、1 、2
、3、4 、5
、6、7 、8、9这些数字
。那么你知道这些数字是谁发明的吗？

这些数字符号原来是古代印度人发明的 ，后来传到 *** ，又从 *** 传到欧洲
，欧洲人误以为是 *** 人发明的，就把它们叫做“ *** 数字 ” ，因为流传了许多年
，人们叫得顺口，所以至今人们仍然将错就错 ，把这些古代印度人发明的数字符号叫做 *** 数字。

现在
， *** 数字已成了全世界通用的数字符号 。

九 九 歌

九九歌就是我们现在使用的乘法口诀
。

远在公元前的春秋战国时代，九九歌就已经被人们广泛使用。在当时的许多著作中 ，都有关于九九歌的记载 。最初的九九歌是从“九九八十一
”起到“二二如四”止
，共36句
。因为是从“九九八十一 ”开始，所以取名九九歌。大约在公元五至十世纪间 ，九九歌才扩充到“一一如一” 。大约在公元十三
、十四世纪
，九九歌的顺序才变成和现在所用的一样，从“一一如一
”起到“九九八十一”止。

现在我国使用的乘法口诀有两种 ，一种是45句的，通常称为“小九九 ”；还有一种是81句的
，通常称为“大九九
”
。

数学小故事

数字趣联

宋代大诗人苏东坡年轻时与几个学友进京考试.他们到达试院时为时已晚.考官说："我出一联，你们若对得上 ，我就让你们进考场."考官的上联是：一叶孤舟
，坐了二三个学子，启用四桨五帆 ，经过六滩七湾
，历尽八颠九簸，可叹十分来迟.

苏东坡对出的下联是：十年寒窗 ，进了九八家书院
，抛却七情六欲，苦读五经四书 ，考了三番两次
，今日一定要中.

考官与苏东坡都将一至十这十个数字嵌入对联中，将读书人的艰辛与刻苦情况描写得淋漓尽致.

点错的小数点

学习数学不仅解题思路要正确 ，具体解题过程也不能出错，差之毫厘
，往往失之千里.

美国芝加哥一个靠养老金生活的老太太，在医院施行一次小手术后回家.两星期后 ，她接到医院寄来的一张帐单
，款数是63440美元.她看到偌大的数字，不禁大惊失色 ，骇得心脏病猝发
，倒地身亡.后来，有人向医院一核对 ，原来是电脑把小数点的位置放错了
，实际上只需要付63.44美元.

点错一个小数点，竟要了一条人命.正如牛顿所说："在数学中 ，最微小的误差也不能忽略.

二十一世纪从哪年开始？

世纪是计算年代的单位
，一百年为一个世纪.

第一世纪的起始年和末尾年，分别是公元1年和公元100年.常见的错误是有人把起始年当作是公元零年 ，这显然不符合逻辑和我们的习惯，因为在一般情况下
，序数的计算是从“1”开始的，而不是从“0 ”开始的。而正是这个理解上的错误 ，所以才导致了世纪末尾年为公元99年的错误认识
，这也是错把1999年当作是二十世纪末尾年，错把2000年当作是二十一世纪起始年的原因.因为公元计数是序数 ，所以应该从“1
”开始
，21世纪的第一年是2001年.

4.三年级数学知识小报怎么做

趣味数学题 1、口袋里有同样大小和同样质地的红 、黄
、蓝三种颜色的小球各10个 。

一次最少摸出个球，才能保证至少有4个颜色相同？ 2、1 、教室的钥匙被弄丢了 ，笑笑
、淘气、青青三位小朋友每人说了一句话： 笑笑说：我没有说谎
。 淘气说：笑笑在说谎。

青青说：淘气和笑笑都在说谎 。 聪明的小朋友
，你知道他们中间谁一定在说谎吗？ 3 、一块长20厘米
、宽16厘米的长方形纸片，按图所示的方法 ，1层、2层 、3层地摆下去
，共要摆100层
。

摆好后图形的周长是多少？ 4
、有50个同学去公园划船，每条大船可以坐6人 ，租金10元；每条船小船可以坐4人，租金8元。那么多种不同的租船方案中哪一种方案最省钱？ 5、A 、B、C
、D、E五人参加乒乓球比赛
，每两人都要赛一场，并且只赛一场 ，规定胜者得2分
，负者不得分，已知比赛结果如下：（1）A与E并列第一名；（2）B是第三名；（3）C与D并列第四名 ，那么B得多少分？ 6 、15个同学排成一列横队
，从左边数起，小林是第11个；从右边数起 ，小刚是第10个 。

小林与小刚之间隔几个同学？ 7
、黑母鸡下1个蛋歇2天
，白母鸡下1个蛋歇1天，两只鸡共下10个蛋 ，最少需要多少天？ 8、一筐萝卜共重56千克
，先卖出一半萝卜，再卖出剩下的一半 ，这时连筐共重17千克，问原来这筐萝卜重多少千克？筐重多少千克？ 9 、小强
、小亮和小军练习投篮球
，一共投了150次，共有64次没投进
。已知小强和小亮一共投进了48次 ，小亮和小军一共投进了69次
，小亮投进了多少次？ 10、把3 、6
、9、12 、15
、18、21 、24、27填在合适的方格里，使每横行
、竖行、斜行的三个数相加都得45。

11 、鸡和兔共有100只 ，兔的脚数比鸡的脚数多28只
，问，鸡
、兔各几只？ 12、甲 、乙两队共有96人 ，如果从甲队调8人到乙队
，乙队再给丙队36人，那么甲队人数就是乙队的2倍 ，甲
、乙两队原来各有多少人？ 13、在1 、2
、3、…… 、132这些数中
，数字“1”共出现了多少次？ 14
、小明一家三口人，妈妈比爸爸小2岁 ，今年全家人的年龄加起来刚好是70岁，而7年前
，全家人的年龄加起来刚好是50岁 。现在，小明家每个人的年龄各是多少岁？ 15、学校第一次买了4个篮球和5个足球 ，共用去520元；第二次买了同样的5个篮球和4个足球
，共用去533元
。

篮球和足球的单价各是多少元？。

5.三年级数学小报资料

20世纪最杰出的数学家之一的冯·诺依曼.众所周知，1946年发明的电子计算机 ，大大促进了科学技术的进步
，大大促进了社会生活的进步.鉴于冯·诺依曼在发明电子计算机中所起到关键性作用，他被西方人誉为"计算机之父".1911年一1921年 ，冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间
，就崭露头角而深受老师的器重.在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文，此时冯·诺依曼还不到18岁. 伽罗华生于离巴黎不远的一个小城镇 ，父亲是学校校长
，还当过多年市长 。

家庭的影响使伽罗华一向勇往直前，无所畏惧。1823年 ，12岁的伽罗华离开双亲到巴黎求学，他不满足呆板的课堂灌输
，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助
。

老师们对他的评价是“只宜在数学的尖端领域里工作 ”。 阿基米德公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古 。

父亲是位数学家兼天文学家
。阿基米德从小有良好的家庭教养 ，11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。

在这座号称"智慧之都"的名城里
，阿基米德博阅群书，汲取了许多的知识 ，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生
，钻研《几何原本》 。 祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算.秦汉以前 ，人们以"径一周三"做为圆周率
，这就是"古率".后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余" ，不过究竟余多少
，意见不一.直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术" ，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长.刘徽计算到圆内接96边形， 求得π=3.14
，并指出，内接正多边形的边数越多 ，所求得的π值越精确.祖冲之在前人成就的基础上
，经过刻苦钻研，反复演算 ，求出π在3.1415926与3.1415927之间.并得出了π分数形式的近似值
，取为约率 ，取为密率 ，其中取六位小数是3.141929
，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数.祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查.若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话 ，就要计算到圆内接16,384边形
，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的.祖冲之计算得出的密率， 外国数学家获得同样结果 ，已是一千多年以后的事了.为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率". 塞乐斯生于公元前624年
，是古希腊第一位闻名世界的大数学家
。

他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后 ，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行。他勤奋好学
，同时又不迷信古人，勇于探索 ，勇于创造
，积极思考问题 。

他的家乡离埃及不太远，所以他常去埃及旅行
。在那里 ，塞乐斯认识了古埃及人在几千年间积累的丰富数学知识。

他游历埃及时
，曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已 。 高斯非常聪明 ，老师在课堂上出了一道算术题
，要学生们计算出前100个自然数相加之和，一般的同学采取逐个相加的办法计算得头昏脑胀 ，而高斯几乎不加思索就算出了答案
。

他是注意到这个算术级数的规律，100+1=101,99+2=101……共50对数
，答案是5050就这些了。

6.三年级数学小数知多少手抄报大全

学完《小数乘法与除法》的数学日记

[ 2007-12-16 21:10:00 | by： 冬日的阳光]

11月25日 星期日

如果把“123
”中间点上一个不起眼的小数点，它便变成“1.23”或者“12.3 ” 。如果把“456
”也点上一个不起眼的小数点 ，它便也变成了“4.56”或者“45.6 ”……小数点就是这么一个神奇的符号
，它能让所有数字都变成“小不点儿”！

在第七单元里，我们学习了小数的乘法与除法 ，让我大有感触！

第一点：列竖式时数位要对齐。列乘法竖式时
，有很多同学往往误以为是用整数与整数对齐，小数与小数对齐 ，如果那么做的话——大错特错！正确的方法应该是这样的：不管小数点的位置在哪儿
，列竖式时，一定要把两个数的末尾对齐 ，只有那样
，所算出来的结果与答案才能是正确的！

第二点：列竖式的过程中千万不可以点上小数点
。这一点可是许多同学的通病，要是在考试时 ，点上了小数点的话，那分扣了
，自己该多后悔啊！

第三点：一定要仔细。一个小数乘10,100,1000……或者一个小数除以10,100,1000……一定不能将小数点移动的位置与方向弄错！

让我们认真地，投入地学数学吧！小数的王国里还有许多秘密在等待着我们去探索呢！

郁若彤

11月25日 星期日

谈起小数 ，同学们都觉得难 。学了小数的加法与减法后
，我们又踏入了小数乘法与除法的学习殿堂，使我们对小数有了新的认识
。

学习小数 ，我们先来认识几条规律：

(1)一个整数乘以1以下的小数
，商是越变越小，而不是越来越大；

(2)一个数乘以0.1 ，积就缩小10倍
，乘0.01积就缩小100倍，以此类推；

(3)在小数除法运算的过程中不要急于打上小数点 ，等商出来后
，选择适合的位置打上小数点；

(4)一个数（0除外）除以0.5，商是这个数的2倍。

掌握了上面四个规律 ，小数乘法和除法运算就好解决了 。先要学习乘法计算，两个小数相乘
，数一数两个小数一共有几位小数，最后得出的积就在几位前打上小数点
。乘法简单 ，除法难吗？其实都是一样的
，掌握了小数除法规律性运算也就不难了。

学习了上面的知识，我们来拓展一下 ，问题是这样的：小马虎在算一道小数乘法运算时
，两数得出的积是180，其中一个因数是01 ，那么另一个因数是多少？

我们看前面的公式：一个数乘以0.1
，积就缩小10倍，就用180÷0.1=1800来算 ，多简单 。

学习小数乘除法真是很有趣
。

7.数学手抄报内容

1 、某数学家的奇闻趣事。

2、趣味数学题
，计划3-5道 。3
、学好数学的方法
。

数学趣味小故事： 高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后 ，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看
，题目是： 1+2+3+ 。.. +97+98+99+100 = ？ 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时 ，却被 高斯叫住了！！ 原来呀
，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？ 高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加 ，也就是说： 1+2+3+4+  。

.. +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ 。.. +4+3+2+1 =101+101+101+
。

.. +101+101+101+101 共有一百个101相加
，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050> 从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学 ，也因此奠定了他以后的数学基础
，更让他成为——数学天才！ 一个长方形，如果长增加6厘米或者宽增加4厘米 ，面积都比原来增加48平方厘米
，这个长方形原来的面积是多少平方厘米？ 如果长增加6厘米，面积比原来增加48平方厘米 ，说明宽是48/6=8厘米，如果宽增加4厘米
，面积增加48平方厘米，说明长是48/4=12厘米 ，那么原来的面积是8*12=96平方厘米。

8.小学三年级数学知识点总结

第1单元测量

1、在生活中
，量比较短的物品，可以用（毫米 、厘米
、分米）做单位；量比较长的物体 ，常用（米）做单位；测量比较长的路程一般用（千米）做单位
，千米也叫（公里） 。

2、1厘米的长度里有（10）小格，每小格的长度（相等） ，都是（1）毫米
。

3 、1枚1分的硬币
、尺子、磁卡 、小纽扣
、钥匙的厚度大约是1毫米。

4、在计算长度时
，只有相同的长度单位才能相加减 。

小技巧：换算长度单位时，把大单位换成小单位就在数字的末尾添加0（关系式中有几个0 ，就添几个0）；把小单位换成大单位就在数字的末尾去掉0（关系式中有几个0
，就去掉几个0）
。

5 、长度单位的关系式有：（ 每两个相邻的长度单位之间的进率是10）

① 进率是10:1米=10分米，1分米=10厘米 ，1厘米=10毫米，

10分米=1米
，10厘米=1分米，10毫米=1厘米 ，

②进率是100:1米=100厘米
，1分米=100毫米，100厘米=1米 ，100毫米=1分米

③进率是1000:1千米=1000米
， 1公里= =1000米，1000米=1千米 ，1000米 = 1公里

6
、当我们表示物体有多重时
，通常要用到（质量单位）。在生活中，称比较轻的物品的质量 ，可以用（克）做单位；称一般物品的质量
，常用（千克）做单位；计量较重的或大宗物品的质量，通常用（吨）做单位 。

小技巧：在“吨
”与“千克”的换算中 ，把吨换算成千克，是在数字的末尾加上3个0;

把千克换算成吨
，是在数字的末尾去掉3个0
。

7、相邻两个质量单位进率是1000。

1吨=1000千克1千克=1000克1000千克= 1吨1000克=1千

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