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1、数一是小学数学的基础课程 ，主要包括数的认识 、数的大小比较 、加减乘除等基本运算，适合小学低年级的学生学习。
2、数二是小学数学的进阶课程 ，主要包括分数 、小数 、百分数、面积 、周长等内容 ，适合小学高年级的学生学习。
3 、数三是初中数学的基础课程，主要包括代数、几何 、函数 、方程等内容 ，适合初中学生学习 。
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常用的数量关系式
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数
2 、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数
3 、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率
6 、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7 、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9 、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1 、正方形 （C：周长 S：面积 a：边长 ）
周长＝边长×4 C=4a
面积=边长×边长 S=a×a
2、正方体 （V:体积 a:棱长 ）
表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
3 、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长 ）
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab
4 、长方体 （V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高 V=abh
5、三角形 （s：面积 a：底 h：高）
面积=底×高÷2 s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高
6 、平行四边形 （s：面积 a：底 h：高）
面积=底×高 s=ah
7 、梯形 （s：面积 a：上底 b：下底 h：高）
面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8、圆形 （S：面积 C：周长 л d=直径 r=半径）
(1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr
(2)面积=半径×半径×л
9 、圆柱体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）
(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径
10 、圆锥体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）
体积=底面积×高÷3
11、总数÷总份数＝平均数
12、和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数
13 、和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数)
14 、差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)
15、相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
16 、浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
17 、利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
常用单位换算
长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时
1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
基本概念
第一章 数和数的运算
一 概念
（一）整数
1 整数的意义
自然数和0都是整数 。
2 自然数
我们在数物体的时候 ，用来表示物体个数的1，2 ，3……叫做自然数。
一个物体也没有 ，用0表示 。0也是自然数 。
3计数单位
一（个）、十 、百 、千、万 、十万 、百万、千万 、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10 。这样的计数法叫做十进制计数法 。
4 数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0） ，除得的商是整数而没有余数 ，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数 ，b就叫做a的约数（或a的因数） 。倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除 ，所以35是7的倍数，7是35的约数 。
一个数的约数的个数是有限的 ，其中最小的约数是1 ，最大的 约数是它本身 。例如：10的约数有1 、2、5、10，其中最小的约数是1 ，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的 ，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3 、6 、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数 。
个位上是0 、2 、4、6 、8的数 ，都能被2整除 ，例如：202 、480、304，都能被2整除 。。
个位上是0或5的数 ，都能被5整除 ，例如：5 、30 、405都能被5整除 。 。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108 、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除 ，这个数就能被9整除 。
能被3整除的数不一定能被9整除 ，但是能被9整除的数一定能被3整除 。
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16 、404、1256都能被4整除 ，50、325 、500 、1675都能被25整除 。
一个数的末三位数能被8（或125）整除 ，这个数就能被8（或125）整除 。例如：1168、4600 、5000 、12344都能被8整除，1125、13375 、5000都能被125整除。
能被2整除的数叫做偶数 。
不能被2整除的数叫做奇数 。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数 ，如果只有1和它本身两个约数 ，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2 、3、5 、7 、11、13 、17 、19、23、29 、31 、37、41 、43 、47、53 、59 、61、67 、71 、73、79 、83 、89、97 。
一个数 ，如果除了1和它本身还有别的约数 ，这样的数叫做合数，例如 4、6 、8 、9、12都是合数 。
1不是质数也不是合数 ，自然数除了1外 ，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数 、合数和1 。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式 。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数 ，例如15=3×5 ，3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 。
例如把28分解质因数
几个数公有的约数 ，叫做这几个数的公约数 。其中最大的一个 ，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1 、2、3 、4 、6、12；18的约数有1 、2 、3、6 、9 、18。其中 ，1、2、3 、6是12和1 8的公约数 ，6是它们的最大公约数 。
公约数只有1的两个数，叫做互质数 ，成互质关系的两个数 ，有下列几种情况：
1和任何自然数互质 。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质 。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质 。
两个合数的公约数只有1时 ，这两个合数互质 ，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数 ，它们的最大公约数就是1 。
几个数公有的倍数 ，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个 ，叫做这几个数的最小公倍数 ，如2的倍数有2 、4、6 、8 、10、12 、14 、16、18 ……
3的倍数有3 、6 、9、12 、15 、18 …… 其中6、12、18……是2 、3的公倍数，6是它们的最小公倍数 。。
如果较大数是较小数的倍数 ，那么较大数就是这两个数的最小公倍数 。
如果两个数是互质数 ，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数 。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数
1 小数的意义
把整数1平均分成10份 、100份、1000份…… 得到的十分之几 、百分之几 、千分之几…… 可以用小数表示 。
一位小数表示十分之几 ，两位小数表示百分之几 ，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成 。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分 ，小数点左边的数叫做整数部分 ，小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10 。小数部分的最高分数单位“十分之一 ”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10 。
2小数的分类
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数 。
带小数：整数部分不是零的小数 ，叫做带小数 。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数 ，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数 。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数 。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数：一个数的小数部分 ，数字排列无规律且位数无限 ，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：∏
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现 ，这个数叫做循环小数 。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
一个循环小数的小数部分 ，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节 。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的 ，叫做纯循环小数 。 例如： 3.111 …… 0.5656 ……
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的 ，叫做混循环小数 。 3.1222 …… 0.03333 ……
写循环小数的时候，为了简便 ，小数的循环部分只需写出一个循环节 ，并在这个循环节的首 、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点 。例如： 3.777 …… 简写作 0.5302302 …… 简写作 。
（三）分数
1 分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里 ，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数 ，叫做分母，表示把单位“1 ”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子 ，表示有这样的多少份 。
把单位“1 ”平均分成若干份 ，表示其中的一份的数，叫做分数单位 。
2 分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数 ，叫做假分数 。假分数大于或等于1 。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数 ，通常叫做带分数。
3 约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分 。
分子分母是互质数的分数 ，叫做最简分数 。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数 ，叫做通分。
（四）百分数
1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比 。百分数通常用"%"来表示 。百分号是表示百分数的符号。
二 方法
（一）数的读法和写法
1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读 。读亿级 、万级时 ，先按照个级的读法去读 ，再在后面加一个“亿”或“万”字 。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。
2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写 ，哪一个数位上一个单位也没有 ，就在那个数位上写0 。
3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读 ，小数点读作“点 ” ，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字 。
4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写 ，小数点写在个位右下角 ，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之 ”然后读分子 ，分子和分母按照整数的读法来读。
6. 分数的写法：先写分数线 ，再写分母，最后写分子 ，按照整数的写法来写 。
7. 百分数的读法：读百分数时 ，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读 。
8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式 ，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
（二）数的改写
一个较大的多位数 ，为了读写方便，常常把它改写成用“万 ”或“亿 ”作单位的数 。有时还可以根据需要 ，省略这个数某一位后面的数 ，写成近似数 。
1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便 ，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数 。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿 。
2. 近似数：根据实际需要 ，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数 ，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿 。
3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小 ，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去 ，并向它的前一位进1 。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿 。
4. 大小比较
1. 比较整数大小：比较整数的大小 ，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位 ，最高位上的数大 ，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位 ，哪一位上的数大那个数就大 。
2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分 ，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的 ，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的 ，百分位上的数大的那个数就大……
3. 比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数 ，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的 ，先通分，再比较两个数的大小。
（三）数的互化
1. 小数化成分数：原来有几位小数 ，就在1的后面写几个零作分母 ，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分 。
2. 分数化成小数：用分母去除分子 。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽 ，不能化成有限小数的 ，一般保留三位小数。
3. 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外 ，不含有其他的质因数 ，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数 。
4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位 ，同时在后面添上百分号 。
5. 百分数化成小数：把百分数化成小数 ，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时 ，通常保留三位小数) ，再把小数化成百分数 。
7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数 。
（四）数的整除
1. 把一个合数分解质因数 ，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除 ，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式 。
2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止 ，然后把所有的除数连乘求积 ，这个积就是这几个数的的最大公约数 。
3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止 ，然后把所有的除数和商连乘求积 ，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时 ，这两个合数互质 。
（五） 约分和通分
约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子 、分母；通常要除到得出最简分数为止 。
通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数 ，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三 性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍 ，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变 。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1. 小数点向右移动一位 ，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位 ，原来的数就扩大1000倍……
2. 小数点向左移动一位 ，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍……
3. 小数点向左移或者向右移位数不够时 ，要用“0"补足位 。
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外） ，分数的大小不变。
（五）分数与除法的关系
1. 被除数÷除数= 被除数/除数
2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零 。
3. 被除数 相当于分子 ，除数相当于分母 。
四 运算的意义
（一）整数四则运算
1整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里 ，相加的数叫做加数，加得的数叫做和 。加数是部分数 ，和是总数 。
加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数
2整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加数 ，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，已知的和叫做被减数 ，已知的加数叫做减数 ，未知的加数叫做差 。被减数是总数，减数和差分别是部分数 。
加法和减法互为逆运算。
3整数乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法 。
在乘法里 ，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数 。相同加数的和叫做积。
在乘法里 ，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。
一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数
4 整数除法：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法 。
在除法里，已知的积叫做被除数 ，已知的一个因数叫做除数 ，所求的因数叫做商 。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里，0不能做除数 。因为0和任何数相乘都得0 ，所以任何一个数除以0 ，均得不到一个确定的商 。
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
推荐于 2017-11-25
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常用的数量关系式
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数
2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数
3 、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4 、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率
6 、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7 、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9 、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1 、正方形 （C：周长 S：面积 a：边长 ）
周长＝边长×4 C=4a
面积=边长×边长 S=a×a
2、正方体 （V:体积 a:棱长 ）
表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
3 、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长 ）
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab
4 、长方体 （V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高 V=abh
5、三角形 （s：面积 a：底 h：高）
面积=底×高÷2 s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高
6 、平行四边形 （s：面积 a：底 h：高）
面积=底×高 s=ah
7 、梯形 （s：面积 a：上底 b：下底 h：高）
面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8、圆形 （S：面积 C：周长 л d=直径 r=半径）
(1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr
(2)面积=半径×半径×л
9、圆柱体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）
(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径
10 、圆锥体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）
体积=底面积×高÷3
11 、总数÷总份数＝平均数
12、和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数
13 、和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数)
14 、差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)
15、相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
16 、浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
17 、利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
常用单位换算
长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时
1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
基本概念
第一章 数和数的运算
一 概念
（一）整数
1 整数的意义
自然数和0都是整数 。
2 自然数
我们在数物体的时候 ，用来表示物体个数的1 ，2，3……叫做自然数 。
一个物体也没有 ，用0表示。0也是自然数 。
3计数单位
一（个）、十 、百 、千、万 、十万 、百万、千万、亿……都是计数单位 。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法 。
4 数位
计数单位按照一定的顺序排列起来 ，它们所占的位置叫做数位 。
5数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数 ，我们就说a能被b整除 ，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的 。
因为35能被7整除 ，所以35是7的倍数 ，7是35的约数 。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1 ，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1 、2 、5、10 ，其中最小的约数是1，最大的约数是10 。
一个数的倍数的个数是无限的 ，其中最小的倍数是它本身 。3的倍数有：3 、6 、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
个位上是0 、2 、4、6 、8的数，都能被2整除 ，例如：202 、480、304 ，都能被2整除 。 。
个位上是0或5的数，都能被5整除 ，例如：5 、30 、405都能被5整除。 。
一个数的各位上的数的和能被3整除 ，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除 。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除 ，但是能被9整除的数一定能被3整除 。
一个数的末两位数能被4（或25）整除 ，这个数就能被4（或25）整除 。例如：16 、404 、1256都能被4整除，50、325 、500 、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8（或125）整除 ，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600 、5000 、12344都能被8整除 ，1125、13375 、5000都能被125整除 。
能被2整除的数叫做偶数 。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数 。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数 。
一个数，如果只有1和它本身两个约数 ，这样的数叫做质数（或素数） ，100以内的质数有：2 、3、5 、7 、11、13、17 、19 、23、29 、31 、37、41 、43 、47、53 、59 、61、67 、71 、73、79、83 、89 、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数 ，这样的数叫做合数 ，例如 4、6 、8 、9、12都是合数 。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外 ，不是质数就是合数 。如果把自然数按其约数的个数的不同分类 ，可分为质数 、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式 。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5 ，3和5 叫做15的质因数 。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 ，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数 。其中最大的一个 ，叫做这几个数的最大公约数 ，例如12的约数有1 、2、3 、4 、6、12；18的约数有1 、2 、3、6、9 、18 。其中，1 、2、3 、6是12和1 8的公约数 ，6是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数 ，叫做互质数，成互质关系的两个数 ，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质 。
两个不同的质数互质 。
当合数不是质数的倍数时 ，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质 ，如果几个数中任意两个都互质 ，就说这几个数两两互质 。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数 。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数 ，叫做这几个数的公倍数 ，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数 ，如2的倍数有2 、4、6 、8 、10、12 、14 、16、18 ……
3的倍数有3 、6 、9、12、15 、18 …… 其中6 、12、18……是2 、3的公倍数 ，6是它们的最小公倍数 。 。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数 ，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数 。
几个数的公约数的个数是有限的 ，而几个数的公倍数的个数是无限的 。
（二）小数
1 小数的意义
把整数1平均分成10份 、100份、1000份…… 得到的十分之几 、百分之几 、千分之几…… 可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几 ，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成 。数中的圆点叫做小数点 ，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分 ，小数点右边的数叫做小数部分 。
在小数里 ，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一 ”和整数部分的最低单位“一 ”之间的进率也是10。
2小数的分类
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数 。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数 。
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数 。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数 ，叫做有限小数 。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数 ，叫做无限小数 。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限 ，这样的小数叫做无限不循环小数 。 例如：∏
循环小数：一个数的小数部分 ，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
一个循环小数的小数部分 ，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节 。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 …… 0.5656 ……
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的 ，叫做混循环小数 。 3.1222 …… 0.03333 ……
写循环小数的时候 ，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节 ，并在这个循环节的首 、末位数字上各点一个圆点 。如果循环 节只有 一个数字 ，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 …… 简写作 0.5302302 …… 简写作 。
（三）分数
1 分数的意义
把单位“1 ”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数 。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数 ，叫做分母 ，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份 。
把单位“1 ”平均分成若干份 ，表示其中的一份的数 ，叫做分数单位。
2 分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数 。真分数小于1 。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1 。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数 ，通常叫做带分数 。
3 约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数 。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数 ，叫做通分 。
（四）百分数
1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用"%"来表示 。百分号是表示百分数的符号 。
二 方法
（一）数的读法和写法
1. 整数的读法：从高位到低位 ，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读 ，再在后面加一个“亿 ”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来 ，其它数位连续有几个0都只读一个零 。
2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有 ，就在那个数位上写0 。
3. 小数的读法：读小数的时候 ，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点” ，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4. 小数的写法：写小数的时候 ，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角 ，小数部分顺次写出每一个数位上的数字 。
5. 分数的读法：读分数时 ，先读分母再读“分之 ”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读 。
6. 分数的写法：先写分数线 ，再写分母 ，最后写分子，按照整数的写法来写。
7. 百分数的读法：读百分数时 ，先读百分之 ，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读 。
8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“% ”来表示 。
（二）数的改写
一个较大的多位数 ，为了读写方便 ，常常把它改写成用“万”或“亿 ”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数 ，写成近似数 。
1. 准确数：在实际生活中 ，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数 。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿 。
2. 近似数：根据实际需要 ，我们还可以把一个较大的数 ，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示 。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。
3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小 ，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大 ，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万 。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿 。
4. 大小比较
1. 比较整数大小：比较整数的大小 ，位数多的那个数就大 ，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大 ，那个数就大；最高位上的数相同 ，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分 ， ，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的 ，百分位上的数大的那个数就大……
3. 比较分数的大小:分母相同的分数 ，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大 。分数的分母和分子都不相同的 ，先通分 ，再比较两个数的大小 。
（三）数的互化
1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母 ，把原来的小数去掉小数点作分子 ，能约分的要约分。
2. 分数化成小数：用分母去除分子 。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的 ，一般保留三位小数 。
3. 一个最简分数 ，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数 ，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数 ，这个分数就不能化成有限小数。
4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号 。
5. 百分数化成小数：把百分数化成小数 ，只要把百分号去掉 ，同时把小数点向左移动两位 。
6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数) ，再把小数化成百分数。
7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数 ，能约分的要约成最简分数 。
（四）数的整除
1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法 。先用能整除这个合数的质数去除 ，一直除到商是质数为止 ，再把除数和商写成连乘的形式。
2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积 ，这个积就是这几个数的的最大公约数 。
3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除 ，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积 ，这个积就是这几个数的最小公倍数 。
4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时 ，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质 。
（五） 约分和通分
约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子 、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数 ，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数 。
三 性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：在除法里 ，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变 。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1. 小数点向右移动一位 ，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位 ，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……
2. 小数点向左移动一位 ，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位 ，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍……
3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位 。
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外） ，分数的大小不变 。
（五）分数与除法的关系
1. 被除数÷除数= 被除数/除数
2. 因为零不能作除数 ，所以分数的分母不能为零。
3. 被除数 相当于分子，除数相当于分母 。
四 运算的意义
（一）整数四则运算
1整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法 。
在加法里 ，相加的数叫做加数 ，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数 。
加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数
2整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加数 ，求另一个加数的运算叫做减法 。
在减法里 ，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数 ，未知的加数叫做差。被减数是总数 ，减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算 。
3整数乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法 。
在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积 。
在乘法里 ，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数 。
一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数
4 整数除法：
已知两个因数的积与其中一个因数 ，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数 ，所求的因数叫做商 。
乘法和除法互为逆运算 。
在除法里 ，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0 ，均得不到一个确定的商 。
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
推荐于 2017-11-25
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